Hypothesentests

kstats-hypothesis stellt statistische Tests bereit, gegliedert nach der Fragestellung, die sie beantworten. Die meisten Funktionen liefern ein TestResult zurück; oneWayAnova() gibt ein AnovaResult mit der vollständigen ANOVA-Tabelle zurück.

Ein Testergebnis lesen

Jeder Test erzeugt ein Ergebnis mit einheitlicher Struktur. Die statistic ist der berechnete Testwert, der pValue gibt die Wahrscheinlichkeit an, unter der Nullhypothese ein mindestens so extremes Ergebnis zu beobachten, und isSignificant() vergleicht den p-Wert mit einem Schwellenwert.

val sample = doubleArrayOf(5.0, 6.0, 7.0, 5.5, 6.5)
val result = tTest(sample, mu = 5.0)

result.testName          // "One-Sample T-Test"
result.statistic         // 2.8284
result.pValue            // 0.0474
result.degreesOfFreedom  // 4.0
result.isSignificant()   // true (p < 0.05)
result.confidenceInterval // (5.02, 6.98)

isSignificant() verwendet standardmäßig

\alpha = 0.05

. Ein anderer Schwellenwert kann explizit übergeben werden: result.isSignificant(alpha = 0.01).

Setzen Sie alternative explizit für einseitige Tests. Der Standardwert ist Alternative.TWO_SIDED. Mit Alternative.GREATER wird geprüft, ob der Stichprobenmittelwert den Referenzwert übersteigt; Alternative.LESS prüft, ob er darunter liegt.

Unterscheidet sich mein Stichprobenmittelwert von einem Referenzwert?

Der Einstichproben-t-Test vergleicht den Mittelwert einer einzelnen Stichprobe mit einem bekannten oder hypothetischen Wert.

val sample = doubleArrayOf(5.1, 4.9, 5.3, 5.0, 4.8)

// Two-sided: is the mean different from 5.0?
val two = tTest(sample, mu = 5.0)
two.statistic            // t value
two.pValue               // two-sided p-value

// One-sided: is the mean greater than 5.0?
val one = tTest(sample, mu = 5.0, alternative = Alternative.GREATER)
one.pValue               // one-sided p-value

Verwenden Sie Alternative.GREATER oder Alternative.LESS für gerichtete Hypothesen, anstatt einen zweiseitigen p-Wert zu halbieren. Das Konfidenzintervall passt sich entsprechend an.

Unterscheiden sich zwei Gruppen?

Zweistichproben-t-Test

Vergleicht die Mittelwerte zweier unabhängiger Stichproben. Welchs t-Test (ungleiche Varianzen) ist die Standardeinstellung.

val group1 = doubleArrayOf(1.0, 2.0, 3.0, 4.0, 5.0)
val group2 = doubleArrayOf(6.0, 7.0, 8.0, 9.0, 10.0)

val result = tTest(group1, group2)
result.statistic         // -5.0
result.pValue            // 0.0011
result.isSignificant()   // true

equalVariances ist standardmäßig false, d. h. es wird Welchs t-Test verwendet. Setzen Sie equalVariances = true nur, nachdem Sie gleiche Varianzen mit leveneTest() oder bartlettTest() bestätigt haben.

Gepaarter t-Test

Vergleicht zwei zusammenhängende Messungen (vorher/nachher, links/rechts) an denselben Versuchspersonen.

val before = doubleArrayOf(200.0, 190.0, 210.0, 180.0, 195.0)
val after = doubleArrayOf(190.0, 180.0, 195.0, 170.0, 185.0)

val result = pairedTTest(before, after)
result.statistic         // positive t (before > after)
result.pValue            // p-value for the difference
result.isSignificant()   // true if the change is significant

Mann-Whitney-U-Test

Nichtparametrische Alternative zum Zweistichproben-t-Test. Vergleicht Ränge statt Mittelwerte.

val group1 = doubleArrayOf(1.0, 2.0, 3.0, 4.0, 5.0)
val group2 = doubleArrayOf(6.0, 7.0, 8.0, 9.0, 10.0)

val result = mannWhitneyUTest(group1, group2)
result.statistic         // U = 0.0
result.pValue            // < 0.02
result.isSignificant()   // true

Wilcoxon-Vorzeichen-Rang-Test

Nichtparametrische Alternative zum gepaarten t-Test. Prüft, ob gepaarte Differenzen symmetrisch um Null verteilt sind.

val before = doubleArrayOf(10.0, 12.0, 14.0, 16.0, 18.0)
val after = doubleArrayOf(8.0, 9.0, 11.0, 12.0, 13.0)

val result = wilcoxonSignedRankTest(before, after)
result.statistic         // W+ = 15.0
result.pValue            // p-value with continuity correction

Unterscheiden sich drei oder mehr Gruppen?

Einfaktorielle ANOVA

Prüft, ob sich die Mittelwerte von drei oder mehr Gruppen unterscheiden. Gibt ein AnovaResult mit der vollständigen ANOVA-Tabelle zurück.

val g1 = doubleArrayOf(1.0, 2.0, 3.0, 4.0, 5.0)
val g2 = doubleArrayOf(6.0, 7.0, 8.0, 9.0, 10.0)
val g3 = doubleArrayOf(11.0, 12.0, 13.0, 14.0, 15.0)

val anova = oneWayAnova(g1, g2, g3)
anova.fStatistic         // 50.0
anova.pValue             // < 0.00001
anova.dfBetween          // 2
anova.dfWithin           // 12
anova.ssBetween          // 250.0
anova.ssWithin           // 30.0
anova.msBetween          // 125.0
anova.msWithin           // 2.5

Die ANOVA setzt Normalverteilung innerhalb jeder Gruppe und gleiche Varianzen über alle Gruppen voraus. Prüfen Sie die Normalverteilung mit shapiroWilkTest() und die Varianzhomogenität mit leveneTest() oder bartlettTest(), bevor Sie eine ANOVA durchführen.

Friedman-Test

Nichtparametrische Alternative zur ANOVA mit Messwiederholung. Vergleicht Ränge über verbundene Gruppen.

val treatment1 = doubleArrayOf(5.0, 6.0, 7.0, 5.5, 6.5)
val treatment2 = doubleArrayOf(4.0, 5.0, 6.0, 4.5, 5.5)
val treatment3 = doubleArrayOf(7.0, 8.0, 9.0, 7.5, 8.5)

val result = friedmanTest(treatment1, treatment2, treatment3)
result.statistic         // Friedman chi-squared
result.pValue            // p-value

Sind meine Daten normalverteilt?

Vier Normalitätstests stehen zur Verfügung. Jeder gibt ein TestResult zurück — ein signifikantes Ergebnis (niedriger p-Wert) deutet auf Abweichungen von der Normalverteilung hin.

val sample = doubleArrayOf(
    -1.2, -0.5, 0.0, 0.5, 1.2, 0.3, -0.1, 0.8, -0.4, 0.6,
    -0.8, 0.2, 0.9, -0.3, 0.4, -0.6, 1.0, -0.9, 0.1, 0.7
)

shapiroWilkTest(sample).pValue       // high p → consistent with normality
andersonDarlingTest(sample).pValue   // high p → consistent with normality
dagostinoPearsonTest(sample).pValue  // combines skewness and kurtosis tests
jarqueBeraTest(sample).pValue        // asymptotic test based on skewness and kurtosis

Der Shapiro-Wilk-Test ist die gebräuchlichste Wahl und in der Regel der stärkste Test für kleine bis mittlere Stichproben (n < 5000). Der Anderson-Darling-Test ist empfindlicher gegenüber Abweichungen in den Verteilungsrändern. D’Agostino-Pearson und Jarque-Bera sind schneller bei großen Stichproben.

Stimmen meine beobachteten Häufigkeiten mit erwarteten Anteilen überein?

Chi-Quadrat-Anpassungstest

Prüft, ob beobachtete Häufigkeiten den erwarteten Häufigkeiten entsprechen.

val observed = intArrayOf(50, 30, 20)
val expected = doubleArrayOf(40.0, 40.0, 20.0)

val result = chiSquaredTest(observed, expected)
result.statistic         // 5.0
result.pValue            // 0.0821
result.isSignificant()   // false at α = 0.05

G-Test

Likelihood-Ratio-Alternative zum Chi-Quadrat-Test. Oft bevorzugt bei kleinen erwarteten Häufigkeiten.

val observed = intArrayOf(50, 30, 20)
val expected = doubleArrayOf(40.0, 40.0, 20.0)

val result = gTest(observed, expected)
result.statistic         // G statistic
result.pValue            // p-value

Binomialtest

Prüft, ob der beobachtete Anteil an Erfolgen einer hypothetischen Wahrscheinlichkeit entspricht.

val result = binomialTest(successes = 60, trials = 100, probability = 0.5)
result.pValue            // p-value for H₀: p = 0.5
result.isSignificant()   // true if 60/100 is significantly different from 0.5

Fisher-Exakttest

Exakter Test für 2x2-Kontingenztafeln. Dem Chi-Quadrat-Test bei kleinen Stichproben vorzuziehen.

// 2×2 table: [[10, 30], [20, 40]]
val result = fisherExactTest(arrayOf(intArrayOf(10, 30), intArrayOf(20, 40)))
result.pValue            // exact p-value
result.isSignificant()   // true or false

Der Fisher-Exakttest ist für kleine Kontingenztafeln konzipiert. Für größere Tabellen verwenden Sie chiSquaredTest() mit einem Chi-Quadrat-Unabhängigkeitstest.

Haben meine Gruppen gleiche Varianzen?

Varianzhomogenität ist eine Voraussetzung der ANOVA und einiger t-Test-Varianten. Drei Tests stehen zur Verfügung:

val g1 = doubleArrayOf(1.0, 2.0, 3.0, 4.0, 5.0)
val g2 = doubleArrayOf(2.0, 4.0, 6.0, 8.0, 10.0)
val g3 = doubleArrayOf(1.0, 3.0, 5.0, 7.0, 9.0)

leveneTest(g1, g2, g3).pValue         // robust to non-normality
bartlettTest(g1, g2, g3).pValue       // most powerful when normality holds
flignerKilleenTest(g1, g2, g3).pValue // rank-based, robust to outliers

Der Levene-Test ist die sicherste Standardwahl — er ist robust gegenüber Abweichungen von der Normalverteilung. Verwenden Sie den Bartlett-Test nur, wenn die Daten innerhalb jeder Gruppe annähernd normalverteilt sind (Bartlett ist in diesem Fall leistungsfähiger). Der Fligner-Killeen-Test ist am robustesten gegenüber Ausreißern.

Passt meine Stichprobe zu einer Referenzverteilung?

Kolmogorow-Smirnow-Test

Der Zweistichproben-KS-Test prüft, ob zwei Stichproben aus derselben stetigen Verteilung stammen.

val sample1 = doubleArrayOf(1.0, 2.0, 3.0, 4.0, 5.0)
val sample2 = doubleArrayOf(1.5, 2.5, 3.5, 4.5, 5.5)

val result = kolmogorovSmirnovTest(sample1, sample2)
result.statistic         // D = max difference between ECDFs
result.pValue            // p-value

Sind Beobachtungen Ausreißer?

Grubbs-Test

Der Grubbs-Test (Extreme Studentized Deviate Test) prüft formell, ob die am weitesten vom Mittelwert entfernte Beobachtung ein Ausreißer ist, vorausgesetzt, die übrigen Daten sind näherungsweise normalverteilt. Die Teststatistik lautet

G = \frac{\max_{i} |x_i - \bar{x}|}{s},

umgerechnet in eine Student-

t

-Statistik mit

N - 2

Freiheitsgraden und Bonferroni-korrigiert dafür, dass jede Beobachtung getestet wurde.

// Response times (ms) with a suspected outlier
val latencies = doubleArrayOf(12.0, 14.0, 11.0, 13.0, 15.0, 98.0, 12.0)

val result = grubbsTest(latencies)
result.statistic                       // G statistic
result.pValue                          // Bonferroni-corrected p-value
result.additionalInfo["outlierIndex"]  // index of the suspected outlier
result.additionalInfo["outlierValue"]  // the suspected outlier's value
result.isSignificant()                 // true if outlier is significant at α = 0.05

Verwenden Sie Alternative.GREATER oder Alternative.LESS, um nur einen Tail zu testen, wenn Sie ausschließlich an einem auffällig großen bzw. kleinen Wert interessiert sind:

// Only test for a suspiciously large value (upper tail)
val data = doubleArrayOf(2.1, 2.5, 2.3, 2.8, 10.0, 2.4, 2.2)
val upper = grubbsTest(data, alternative = Alternative.GREATER)
upper.additionalInfo["outlierValue"] // 10.0 — the maximum

// Only test for a suspiciously small value (lower tail)
val dataLow = doubleArrayOf(2.1, 2.5, 2.3, 2.8, -5.0, 2.4, 2.2)
val lower = grubbsTest(dataLow, alternative = Alternative.LESS)
lower.additionalInfo["outlierValue"] // -5.0 — the minimum

Für mehrere Ausreißer wendet grubbsTestIterative() den Test wiederholt an und entfernt jeweils einen signifikanten Ausreißer, bis keiner mehr übrig ist oder die Stichprobe unter drei Beobachtungen fällt.

// Remove multiple outliers by repeatedly applying the test
val data = doubleArrayOf(10.0, 11.0, 12.0, 13.0, 14.0, 80.0, 90.0)
val cleaned = grubbsTestIterative(data, alpha = 0.05)

cleaned.outlierIndices // indices (in the original array) that were removed
cleaned.cleanedData    // observations after removing all detected outliers
cleaned.iterations     // TestResult from each round (last one is non-significant)

Der Grubbs-Test setzt voraus, dass die Daten bis auf den Ausreißer näherungsweise normalverteilt sind. Validieren Sie mit shapiroWilkTest() an den Daten nach Entfernen des Verdächtigen, bevor Sie ein signifikantes Ergebnis berichten.

Das iterative Verfahren kann Ausreißer maskieren, wenn mehrere Extreme zusammenliegen — jeder Einzeltest wird durch seine Nachbarn verdünnt. Bevorzugen Sie bei großen Clustern einen speziellen Mehrfach-Ausreißer-Test (z. B. verallgemeinertes ESD) oder einen robusten Schätzer.

Die Alternative-Aufzählung

Alternative steuert die Richtung des Tests:

Wert	Bedeutung
`TWO_SIDED`	Prüft, ob der Parameter in beliebiger Richtung vom Referenzwert abweicht (Standard)
`GREATER`	Prüft, ob der Parameter den Referenzwert übersteigt
`LESS`	Prüft, ob der Parameter unter dem Referenzwert liegt

Gerichtete Alternativen werden von tTest, pairedTTest, mannWhitneyUTest, wilcoxonSignedRankTest und binomialTest unterstützt.

API-Referenz

Vollständige API-Referenz

Alle Testfunktionen, Ergebnistypen und Parameterüberladungen in der Dokka-generierten Referenz durchsuchen.

Getting Started

Module

Hypothesentests

Ein Testergebnis lesen

Unterscheidet sich mein Stichprobenmittelwert von einem Referenzwert?

Unterscheiden sich zwei Gruppen?

Zweistichproben-t-Test

Gepaarter t-Test

Mann-Whitney-U-Test

Wilcoxon-Vorzeichen-Rang-Test

Unterscheiden sich drei oder mehr Gruppen?

Einfaktorielle ANOVA

Friedman-Test

Sind meine Daten normalverteilt?

Stimmen meine beobachteten Häufigkeiten mit erwarteten Anteilen überein?

Chi-Quadrat-Anpassungstest

G-Test

Binomialtest

Fisher-Exakttest

Haben meine Gruppen gleiche Varianzen?

Passt meine Stichprobe zu einer Referenzverteilung?

Kolmogorow-Smirnow-Test

Sind Beobachtungen Ausreißer?

Grubbs-Test

Die Alternative-Aufzählung

API-Referenz

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​Unterscheidet sich mein Stichprobenmittelwert von einem Referenzwert?

​Unterscheiden sich zwei Gruppen?

​Zweistichproben-t-Test

​Gepaarter t-Test

​Mann-Whitney-U-Test

​Wilcoxon-Vorzeichen-Rang-Test

​Unterscheiden sich drei oder mehr Gruppen?

​Einfaktorielle ANOVA

​Friedman-Test

​Sind meine Daten normalverteilt?

​Stimmen meine beobachteten Häufigkeiten mit erwarteten Anteilen überein?

​Chi-Quadrat-Anpassungstest

​G-Test

​Binomialtest

​Fisher-Exakttest

​Haben meine Gruppen gleiche Varianzen?

​Passt meine Stichprobe zu einer Referenzverteilung?

​Kolmogorow-Smirnow-Test

​Sind Beobachtungen Ausreißer?

​Grubbs-Test

​Die Alternative-Aufzählung

​API-Referenz

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Unterscheidet sich mein Stichprobenmittelwert von einem Referenzwert?

Unterscheiden sich zwei Gruppen?

Zweistichproben-t-Test

Gepaarter t-Test

Mann-Whitney-U-Test

Wilcoxon-Vorzeichen-Rang-Test

Unterscheiden sich drei oder mehr Gruppen?

Einfaktorielle ANOVA

Friedman-Test

Sind meine Daten normalverteilt?

Stimmen meine beobachteten Häufigkeiten mit erwarteten Anteilen überein?

Chi-Quadrat-Anpassungstest

G-Test

Binomialtest

Fisher-Exakttest

Haben meine Gruppen gleiche Varianzen?

Passt meine Stichprobe zu einer Referenzverteilung?

Kolmogorow-Smirnow-Test

Sind Beobachtungen Ausreißer?

Grubbs-Test

Die Alternative-Aufzählung

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